In this thesis, we use an algebro-geometric approach to study solutions to a generalized version of the classical Yang-Baxter equation (CYBE) for central simple Lie algebras over arbitrary fields of characteristic 0. We assign to these solutions certain geometric data including a cohomology-free sheaf of Lie algebras on a projective curve. The application of geometric methods leads to a new proof of the Belavin-Drinfeld trichotomy, which states that non-degenerate solutions of the CYBE for complex simple Lie algebras are either elliptic, trigonometric, or rational. We give more explicit descriptions of the geometric data as well as the structure theory for solutions from each of these three classes. We also derive a purely geometric version of the Belavin-Drinfeld trichotomy which works over any field of characteristic 0. Moreover, we prove that every non-skew-symmetric solution of the generalized CYBE for central simple Lie algebras over an arbitrary field of characteristic 0 corresponds to a projective curve normalized by $\mathbb{P}^1$ and extends to a rational function by passing to an \'etale $\mathbb{P}^1$-scheme.

In dieser Arbeit verwenden wir einen algebro-geometrischen Zugang zum Studium von Lösungen einer Verallgemeinerung der klassischen Yang-Baxter Gleichung (KYBG) für zentraleinfache Lie Algebren über beliebigen Körpern der Charakteristik 0. Wir ordnen diesen Lösungen bestimmte geometrische Daten zu, unter anderem eine Kohomologie-freie Garbe von Lie Algebren auf einer projektiven Kurve. Unter Verwendung geometrischer Methoden führt dies zu einem neuen Beweis der Belavin-Drinfeld Trichotomie, welche besagt das nicht-entartete Lösungen der KYBG entweder elliptisch, trigonometrisch oder rational sind. Wir geben explizite Beschreibungen der geometrischen Daten und der Strukturtheorie von Lösungen aus jeder einzelnen dieser drei Klassen an. Wir leiten auch eine rein geometrische Version der Belavin-Drinfeld Trichotomie her, die über beliebigen Körpern der Charakteristik 0 gilt. Des weiteren beweisen wir, dass jede nicht schiefsymmetrische Lösung der verallgemeinerten KYBG zu einer von $\mathbb{P}^1$ normalisierten projektiven Kurve gehört und durch den Übergang zu einem \'etalen $\mathbb{P}^1$-Schema zu einer rationalen Funktion erweitert werden kann.